题解 P4184 [USACO18JAN]Sprinklers P

题目大意：

给一块 \(N\times N\) 的网格，其中有 \(N\) 个特殊格子，所在的行和列互不相同。一个位于 \((i,j)\) 的特殊格有以下效果：

  • 对所有 \(0\le x\le i,0\le y\le j\) 的 \((x,y)\) 带来效果 \(1\) 。
  • 对所有 \(i\le x\le N,j\le y\le N\) 的 \((x,y)\) 带来效果 \(2\) 。

问网格中有多少个子矩形，满足所有格都被效果 \(1\) 和 \(2\) 覆盖。

数据范围：\(1\le N\le 10^5\) .

题目难度：省选/USACO Platinum

知识储备：基础算法

解析：

首先考虑每一行中哪些格子会同时受到效果 \(1\) 和 \(2\) 。由于每次影响的是一个连续的区间，显然行上同时受到影响的区间也是连续的。设 \(l_i,r_i\) 为这段区间，那么不难发现 \(l_i\) 为第 \(i\) 行以上最靠左的特殊格横坐标，\(r_i\) 为第 \(i\) 行以下最靠右的特殊格横坐标。可以简单预处理出所有行的 \(l_i,r_i\) 。

枚举矩形的右下角 \((i,j)\) 和左上角 \((x,y)\) ，有 简单推一下式子优化： 前缀和优化即可 \(O(N)\) 计算。

时间复杂度：\(O(N)\) .

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#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int N=2e5+5,P=1e9+7;
int n,a[N],sum1[N],sum2[N];
int ans,l[N],r[N],up[N];
int main(){
    n=read();
    rep(i,1,n){
        int x=read()+1,y=read()+1;
        a[x]=y;
    }
    l[0]=n,r[n+1]=0;
    rep(i,1,n)l[i]=min(l[i-1],a[i]);
    per(i,n,1)r[i]=max(r[i+1],a[i]);
    int pos=r[1];
    rep(i,1,n){
        while(pos&&pos>=l[i]){
            up[pos]=i,pos--;
        }
    }
    rep(i,1,n)sum1[i]=(sum1[i-1]+up[i])%P;
    rep(i,1,n)sum2[i]=(sum2[i-1]+1ll*i*up[i]%P)%P;
    rep(i,1,n){
        ans=(ans+1ll*i*(1ll*(r[i]-l[i])*(r[i]-l[i]+1)/2ll%P)%P
        -1ll*(sum1[r[i]-1]-sum1[l[i]-1]+P)%P*r[i]%P+
        (sum2[r[i]-1]-sum2[l[i]-1]+P)%P)%P;
    }
    printf("%d\n",(ans+P)%P);
    return 0;
}

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